\cleardoublepage
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    \chapternonum{附录}

    \appendixsecmajornumbering

    \section{社交网络中的信息传播模型}\label{apd:propagation_model}
    \subsection{传染病模型}

SI模型（Susceptible-Infected Model）是一种基础的传染病传播模型，用于描述个体在易感（Susceptible，S）和感染（Infected，I）两种状态间的转变。该模型简单假设所有个体从易感状态开始，一旦接触到感染者便有一定概率转为并持续处于感染状态。
数学定义上，SI模型定义易感染个体$S(t)$ 的数量随时间$t$减小，感染个体数量则随之增加，而二者总量之和始终不变。其动力学微分方程如\ref{equ:si}所示：
\begin{equation}
    \label{equ:si}
    \begin{split}
        \frac{dS}{dt} &= -\beta SI \\[5pt]
        \frac{dI}{dt} &= \beta SI \\[5pt]
        S(t) &+ I(t) = N
    \end{split}
\end{equation}
式中，$\beta$是模型的传播率参数。
SIR模型（Susceptible-Infected-Recovered Model）在SI模型的基础上引入了和恢复（Recovered， R）这一状态。SIR模型假设总人口数 
$N=S+I+R$ 恒定，个体可以从易感状态（S）通过接触感染者转变为感染状态（I），而感染状态的个体可能在一定时间后从感染状态转移到恢复状态。转变为恢复状态的个体，在一些复杂模型中可通过参数配置为可再次被感染，并与易感者有不同的再次感染概率，在本文研究的传染病模型中，SIR模型下的恢复状态的个体被认为不再会被传染。模型的动力学由微分方程组\ref{equ:sir} 描述：
\begin{equation}
    \label{equ:sir}
    \begin{split}
        \frac{dS}{dt} &= -\beta SI \\[5pt]
        \frac{dI}{dt} &= \beta SI -\gamma I \\[5pt]
        \frac{dR}{dt} &= \gamma I\\[5pt]
        S(t) + I&(t) + R(t) = N
    \end{split}
\end{equation}
式中，$\gamma$是模型的恢复率参数。

在社交网络信息传播语境中，标签信息的传播是离散化的，因此在实现具体模型时需要将连续的动力学模型离散化。如图\ref{fig:sisir}所示，在社交网络图数据中，SI/SIR的标签传播以一个传播轮次为最小计算粒度。在每一个传播轮次中，每个状态为已感染的节点都会以$\beta$的概率尝试将其未感染邻居转变为已感染，而在一个感染轮次结束后，所有在本轮以前被感染的节点（即不包括本轮新感染的节点）都会以$\gamma$的概率变为恢复节点。
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics{lzy/sisir}
    \caption{\label{fig:sisir}SI与SIR传播模型示意图}
\end{figure}
\subsection{影响力传播模型}
如\autoref{fig:ic}所示的独立级联模型（Independent Cascade Model， IC）是一种经典的信息传播模型，最早由Kempe等人\cite{kempe2003maximizing}提出，用于模拟网络中信息或影响力的传播过程。在IC模型中，信息的传播视为一个独立试验的级联过程。具体来说，每个节点一旦被感染或激活，就会尝试激活其每个邻居节点，激活的成功概率是预先设定的。若尝试激活成功，则该邻居节点在下一步变为活跃节点，若尝试失败，则该邻居节点在此传播中不再被尝试激活，这意味着每个被激活的节点在且仅在它被激活的下一个传播轮次，会尝试以$\beta$概率激活其邻居节点，这模拟了社交网络中影响力传播的“内容拒绝（Content Denial）”（即被用户首次认为不感兴趣的话题大概率不再会被感兴趣）的特质。IC模型目前已被广泛应用于社交网络和信息传播的模拟研究中。
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics{lzy/ic}
    \caption{\label{fig:ic}IC传播模型示意图}
\end{figure}


\section{图节点拓扑特征抽取方法}\label{sec:top-feat}

    \begin{itemize}
        \item 节点的核度\cite{batagelj2003m_coreness}（Coreness）。核度是表征节点在网络结构中核心性的重要指标，它定义了节点所属的最大$k$-core子图的k值。$k$-core分解是一种迭代过程，首先将图中的所有度小于k的节点移除，之后在每次迭代中继续移除剩余节点中度小于$k$的节点，直至所有节点的度均大于或等于$k$。经过此过程所得到的$k$-core由至少拥有$k$个邻居的节点集合构成。核度反映了节点在网络中的位置与其邻接节点的连通性，核度较高的节点通常位于网络的核心地带，与其他高连接度节点构成高度连通的子图，这类节点在网络中具有较强的稳固性和较大的潜在影响力。显然在本文所研究的问题中，核度可以用于识别关键节点、揭示网络的中心结构特征以及分析社区结构。
        
        \item 节点的PageRank\cite{page1999pagerank}。PageRank 是一种广泛应用于图数据分析的节点重要性度量方法，是初代搜索引擎排名算法的核心思想。这一方法认为一个节点的价值或重要性不仅仅取决于它的直接邻居的数量和质量，还取决于这些邻居本身的重要性，也即重要的节点会传递更多的权重给它们指向的其他节点。PageRank 通过迭代过程计算每个节点的分数，该分数反映了其在图中的相对重要性。数学上，其值$PR^\ast$通过如公式\ref{equ:rspsi_s_top_pagerank}所示的迭代式和公式\ref{equ:rspsi_s_top_pagerank_convergence}所示收敛条件来递推计算，式中$d$是阻尼因子，通常设为0.85，表示随机跳转的概率，$\mathcal{N}^{Ingress}_i$和$\mathcal{N}^{Egress}_i$分别代表节点$i$的入邻居和出邻居。实际实现中，通常使用最大迭代次数$T_{max}^{PR}$来结束PageRank的迭代过程。
        \begin{equation}
            \label{equ:rspsi_s_top_pagerank}
            PR^{(t+1)}(v_i)   = \frac{1-d}{N}+d\sum_{v_j\in \mathcal{N}^{Ingress}_i}\frac{PR^{(t)}(v_j)}{|\mathcal{N}^{Egress}_j|} 
        \end{equation}
        \begin{equation}
            \label{equ:rspsi_s_top_pagerank_convergence}
            \frac{1}{N} \sum_{i\in V}\frac{|PR^{(t+1)}(v_i) - PR^{(t)}(v_i) |}{|PR^{(t)}(v_i)|} < \epsilon
        \end{equation}
        
        \item 节点的枢纽评分（Hub Score）和权威评分（Authority Score）\cite{chackrabarti1999mining}。枢纽评分（$Hub^{(t)}$） 和 权威评分（$Auth^{(t)}$ ）是用于衡量节点在网络中重要性的一种方法。枢纽评分用于衡量一个节点作为“信息来源”的重要性，拥有高枢纽评分的节点通常指向许多 “权威”节点，从而在图中扮演重要的中介角色；权威评分用于衡量节点作为“信息权威”的重要性，拥有高 权威评分 的节点通常会被许多 “枢纽” 节点所指向，类似于“可信的参考”角色。一个高权威评分的节点在网络中被认为是更可靠的“信息源”，因为它被众多 “枢纽”节点所推荐。这两个值互相依赖计算，在本文的计算方法中，这两个评分的初始值被设定为$1/N$，并不断由公式\ref{equ:rspsi_s_top_hub_auth}所示的迭代式进行迭代更新，直至达到最大迭代次数$T_{max}^{Hub-Auth}$。
        \begin{equation}
            \label{equ:rspsi_s_top_hub_auth}
            \begin{split}
                Hub^{(t+1)}(v_i) &= \sum_{v_j\in \mathcal{N}^{Ingress}_i}Auth^{(t)}(v_j) \\[5pt]
                Auth^{(t)}(v_i) &= \sum_{v_j\in \mathcal{N}^{Egress}_i}Hub^{(t)}(v_j) \\[5pt]
                \forall v_i\in N, Hub^{(t+1)}(v_i) &= \frac{Hub^{(t+1)}(v_i)}{\sum_{v\in N}Hub^{(t+1)}(v) }\\[5pt]
                \forall v_i\in N, Auth^{(t+1)}(v_i) &= \frac{Auth^{(t+1)}(v_i)}{\sum_{v\in N}Auth^{(t+1)}(v) }
            \end{split}
        \end{equation}
        
       
        \item 节点的特征向量中心度（Eigenvector Centrality）\cite{bonacich1987ec}。节点的特征向量中心度（$\vec{x}_{EC}$）是一种用来衡量图中节点重要性的指标。它通过考虑节点的邻居重要性来评估每个节点的中心性，不仅关注节点的直接连接数，还考虑这些连接节点的中心性。其核心思想是，一个节点的中心性越高，它所连接的邻居节点的中心性也应当越高。特征向量中心度的定义如公式\ref{equ:rspsi_s_ec_def}所示，其中$\lambda_{max}$代表邻接矩阵的最大特征值。本文实现中使用幂迭代（Power Iteration）算法计算特征向量中心度，首先随机初始化最初的特征向量中心度值$\vec{x}_{EC}^{(0)} $，再使用公式\ref{equ:rspsi_s_top_ec}所示的迭代式进行计算，直至迭代式误差收敛到指定范围$\epsilon$内，或达到最大迭代次数$T_{max}^{EC}$，最后将特征向量中心度数值归一化即可。
        \begin{equation}
            \label{equ:rspsi_s_ec_def}
            A\vec{x}_{EC} = \lambda_{max}\vec{x}_{EC}
        \end{equation}
    
        \begin{equation}
            \label{equ:rspsi_s_top_ec}
            \vec{x}_{EC}^{(t+1)} = A\vec{x}_{EC}^{(t)}
        \end{equation}
    
        
        \item 节点的聚类系数（Clustering Coefficient）\cite{watts1998collective}。聚类系数$C_i$是一个衡量节点周围邻居节点是否形成紧密群体（即闭环）的指标。它反映了一个节点的邻居之间互相连接的程度，是评估图中局部结构的一个重要指标。节点的聚类系数越大，代表起在途中构成了数量越多，关系越密的紧密群体。其计算方法如公式\ref{equ:rspsi_s_top_clustering_coefficient}所示，其中$e_i$是节点的邻居之间存在的边数。
        \begin{equation}
            \label{equ:rspsi_s_top_clustering_coefficient}
            C_i=
            \begin{cases} 
                \frac{2e_i}{|\mathcal{N}_i|(|\mathcal{N}_i|-1)}, & |\mathcal{N}_i|>0 \\[5pt]
                0, & \text{其他情况} 
            \end{cases}
        \end{equation}
    
    \end{itemize}


    

    % End of appendix
    \removeappendixsecmajornumbering
}